施肥推荐是植物营养与肥料科学指导农业生产的重要体现，肥料效应函数是施肥推荐的重要工具。 20世纪80年代初随着国家农业化肥施肥量的增加，提出了肥料效应函数、测土施肥和营养诊断三大推荐施肥系统^[1]。后来研究者把土壤养分平衡施肥推荐法^[2-3]、土壤养分系统研究施肥推荐法^[4]都归属于测土推荐施肥，并且把定量化推荐施肥分为以土壤测试为基础的推荐施肥方法和以作物产量反应为基础的推荐施肥方法两大类^[5]。肥料效应函数作为推荐施肥的基本方法被应用于测土推荐施肥^[6]和作物产量反应推荐施肥方法^[5]中，在氮肥推荐施肥方面，巨晓棠^[7]提出的理论施氮量方法和朱兆良^[8] 提出的推荐氮肥适宜施用量方法都采用了肥料效应函数求最佳施肥产量。氮肥推荐施肥必须协调最佳经济效应、消耗环境资源成本低和品质优良三者关系^[9]，肥料效应函数方法是计算经济最佳、消耗环境资源成本最低等问题的重要方法，并广泛应用于以土壤测试为基础的推荐施肥方法和以作物产量反应为基础的推荐施肥方法中^{[2-8，10-11]}。

肥料效应函数理论研究与应用取得重要进展。但随着研究和应用的不断深入，该方法也需要不断改进和完善。肥料效应函数由单一函数到综合模型函数、由一元函数到多元函数、由线性函数到抛物线函数、由多项式函数到指数和对数等多种函数关系；数据来源可以是一个肥料试验的数据也可以是一批试验的数据^[12-15]；函数的因变量包括多种肥料、土壤养分及多种环境因子相关参数^[16]。2016年章明清等^[12]发表了关于肥料效应函数模型研究的综述，归纳总结了经验肥效模型存在的多重共线性、异方差等问题，问题产生原因及避免方法。王兴仁等^[17]和冯涛等^[18]表明，肥料效应二次函数最佳推荐施肥量偏高且忽视了边际分析方法应用条件，由此提出的最佳施肥量往往存在误导。针对这一问题往往通过提高边际产投比进行修正，联合国粮农组织一般定为产投比大于2。

克服采用一元二次方程方法得出的最佳施氮量偏大问题，是效应函数法应用于施肥推荐的重要理论问题，本文试图通过改进氮肥边际成本计算方法来解决施肥推荐的问题。

当前计算氮肥用量与小麦产量效应函数边际成本时，仅仅计算边际条件下氮肥的成本^{[11，13，15]}。从土壤养分系统平衡（养分归还学说）和植物营养原理角度，氮肥施肥量与作物产量在一定土壤养分系统平衡条件下存在效应函数关系，能计算氮素边际投入与边际产值关系，但是实际边际投入不仅仅是氮肥边际成本，因为单单消耗氮肥不能获得作物产量的产值，氮肥的投入随之带来对土壤磷、钾等其它养分的吸收，维持土壤养分平衡需要增施土壤磷、钾等肥料。也就是说，实际成本除了边际氮肥成本之外，还应该包括边际条件下，每增加一定量氮肥投入，作物产量增加，进而作物吸收的土壤磷和钾等营养元素也在增加，从土壤中多吸收的土壤养分应该以等量肥料归还土壤（矿质营养归还学说），归还土壤的这部分养分成本也应该包含在边际成本中；如果边际成本不包含边际条件下作物随着施氮量多吸收土壤磷、钾等养分的成本，土壤磷、钾养分库将不断消耗，已有的土壤氮肥效应关系式将不再适用，使推荐施肥不再有实际意义。

在一定施肥量区间，边际条件下增施氮肥能增加产值，根据植物营养矿质学说和土壤养分系统平衡原理，生产中边际成本应该包括氮肥边际成本和归还土壤其它作物吸收的矿质营养成本。由此计算的实际边际成本一定大于仅仅考虑氮肥的边际成本，那么，通过产投比计算，得到最佳施氮量更合理的结果，能克服通常计算方法计算的最佳施氮量偏高的问题。

本文采用长期定位试验氮肥与产量稳定的二次效应函数，通过分析实际上肥料的边际成本，给出实际边际成本的估算值。这种估算实际边际成本值，要高于仅仅计算氮肥边际成本的结果，即估算的实际边际成本比仅仅计算氮肥成本高；氮肥与小麦、玉米产量产值之间效应方程是一元二次多项式，氮肥投入成本与小麦、玉米边际产值成负相关，在一定产投比条件下，实际边际成本的增加，必然降低氮肥投入，进而解决通常肥料二次方程计算最佳施肥量偏高的问题^[17]。

1 材料与方法

1.1 供试材料

长期定位试验在中国农业科学院德州实验站陵县试验基地开展。基地（37º20′N，116º38′E）位于黄淮海平原中心地带，典型农业区，海拔21.4m，属暖温带半湿润半干旱大陆性季风气候区，四季分明，日照时数长，光照强度大。土壤类型为盐化潮土，盐渍化学类型以硫酸盐-氯化物盐土为主，土壤质地为轻壤土。

定位试验于2007年10月开始，试验实施前土壤基本理化性状^[14]见表1。

试验采用冬小麦-夏玉米轮作种植方式，2007年10月～2009年10月小麦品种为烟农19、玉米品种浚单20。2009年10月～2017年10月小麦品种为济麦22、玉米品种为郑单958。供试肥料为尿素、过磷酸钙、硫酸钾和牛粪。

试验期间供试肥料平均价格：过磷酸钙（P₂O₅ 12%）800元/t，P₂O₅ 养分6.67元/kg。尿素（N 46%） 1800元/t，纯N养分3.91元/kg。硫酸钾（K₂O 50%）3200元/t，K₂O养分6.40元/kg。

10 年有机肥（鲜牛粪）平均购买价100 元/m³，含干物质312 kg/m³、N 2.80 kg/m³、P₂O₅ 2.80 kg/m³、 K₂O 3.81 kg/m³。氮、磷、钾养分都按化肥价格计算，有机肥含有的氮、磷、钾肥料价值为54.11 元/m³。

1.2 试验设计

施肥处理：每季作物4个有机肥料（鲜牛粪） 氮水平，投入量（简称“有机氮”）按纯N计分别为0、45、120、240kg/hm²，6个化肥氮（ 尿素，按纯N计）水平（简称“无机氮”）对应为0、45、 90、120、180、240kg/hm²，共计4 × 6=24个处理，随机区组排列，每个处理3次重复，共72个小区，小区面积9m × 11.11m=100.0m²。

化肥氮50%用作基肥、50%用作追肥。小麦施肥：第一次施用是基肥，在冬小麦播种前，第二次施用是追肥，在小麦拔节期；玉米施肥：第一次施用是基肥，在苗期，第二次施用是追肥，在玉米大喇叭口期；小麦、玉米处理全年有机肥均做小麦基肥施入（2009年10月～2013年10月，有机肥分别施做小麦、玉米基肥）。磷、钾肥用量按足量且等量的原则设计（冬小麦和夏玉米每季作物P₂O₅ 和K₂O的用量分别按150kg/hm² 投入）。全年的磷、钾肥在小麦播种前一次性施用。小麦和玉米轮作种植，收获后秸秆移出农田。

1.3 测产与样品分析

小麦每年产量测定：收获期每个小区两个取样点收产，选取10m² 收割，晒干，脱粒扬净称重，计算籽粒产量。

玉米每年产量测定：收获期每个小区3个取样点收产，选取20m² 收取玉米穗，晒干，脱粒扬净称重，计算玉米籽粒产量。文中采用2015～2017年试验数据。

土壤有机质采用浓硫酸加重铬酸钾外加热法测定，全氮采用凯氏定氮法测定，有效磷采用Olsen法测定，速效钾采用乙酸铵浸提火焰光度法测定。小麦、玉米籽粒70℃烘干，用磨样机磨碎（过1mm筛），样品经H₂SO₄-H₂O消煮后，半微量凯氏定氮法测定全氮，钒钼黄比色法测定全磷，火焰光度法测定全钾含量。试验数据采用Excel 2007和SAS 8.1进行统计分析。

1.4 数据处理

基于重点探讨氮肥效应边际成本分析，本文仅对6个化肥处理数据进行分析处理。分析长期定位试验不同阶段特性，仅以2015～2017年试验资料进行计算分析讨论。分别就氮肥产量效应、产值效应、作物籽粒养分含量和基于实际边际投入计算最佳氮肥施肥推荐量进行分析。

测定数据利用Excel 2003进行数据预处理和作图，采用SAS 8.1进行统计分析，用最小二乘插值法进行差异性分析、多重比较（P<0.05）。

2 结果与分析

2.1 小麦、玉米产量和产值对氮肥的响应

2.1.1 小麦、玉米产量对氮肥的响应

利用长期定位试验2015～2017年3个重复测定产量平均值，与氮肥施用量进行拟合，结果见图1。

由图1可知，2015～2017年玉米试验的最大氮肥施肥量为199.15kg/hm²，而且能很好拟合二次曲线，小麦试验最大施肥量为229.47kg/hm²。曲线具有如下规律：小麦和玉米产量曲线都是标准的二次曲线，小麦和玉米施氮量分别超过229.47、 199.15kg/hm²，曲线已经显示因过量施肥造成小麦和玉米减产。

同样氮肥施肥量下玉米产量大于小麦产量。

注：** 表示差异显著。下同。

2.1.2 小麦、玉米周年产值对氮肥的响应

小麦、玉米产量分别与氮肥施肥量建立一元二次函数，并分别求出小麦、玉米的最大和最佳施肥量和最佳产值，一般文献大都是这样分析。但是在小麦、玉米轮作试验中，能够分别计算小麦、玉米的最佳施肥量，由于试验设计小麦、玉米轮作施肥处理完全一样，小麦、玉米施肥量不一样（肥料轮作前后茬残效不一样），产量与施氮量关系就不同。因此通过小麦、玉米周年产生的经济效益（周年产值）与氮肥的函数关系求最佳。

小麦、玉米价格分别为2.4、1.6元/kg。分别求出各个年份的周年产值与周年氮肥用量关系（图2）。投入周年产值与施氮量关系趋势和产量与施氮量关系类似，属于标准二次曲线，由曲线计算可得小麦、玉米两季施氮量在480kg/hm² 时达到了最高产值。

2.2 不同氮肥处理下小麦、玉米籽粒氮、磷、钾含量

氮肥与小麦、玉米产值的效应函数中，虽然表示的仅仅是氮肥投入对产值的影响，但是计算最佳施氮量求边际投入时，不仅仅包括氮肥的边际投入，实际上的边际投入包括氮肥的投入、土壤其它营养元素和水等一系列土壤环境肥力因子的投入。其中作物籽粒产量、养分含量也是计算边际投入的重要部分。表2是不同氮肥处理下小麦、玉米籽粒养分含量，以便于计算土壤养分边际投入。

注：同列不同小写字母表示同一有机肥施用水平不同化肥处理间在5%水平显著（邓肯检验）。下同。

表2 中显示当施氮量大于180kg/hm²，小麦籽粒含氮量显著高于施氮量0～120kg/hm² 的处理； 而籽粒中磷、钾含量在所有氮肥处理范围内没有显著差异。玉米籽粒含氮量在施氮肥90～240kg/hm² 范围内没有显著差异，玉米籽粒磷、钾含量在所有施氮量处理范围内没有显著差异。

这就表明，在小麦、玉米边际条件下籽粒磷、钾含量可以作为一个不依赖于施氮量的常数，可采用平均数作为磷、钾边际产量下养分含量。

2.3 周年产值最佳氮肥推荐与边际投入分析

如果边际产投比按通常计算方法计算最佳氮肥用量，可以通过图2中曲线的函数关系和氮肥价格，计算最佳氮肥用量，但是这种计算方法计算的氮肥用量偏高^[17]，因此，采用充分分析边际成本计算方法，对原有计算方法进行改进。首先，把多年产量与氮肥量回归成如下一元二次函数形式。

氮肥与小麦产量函数关系：

式中，Y_W 表示小麦产量，X_W 表示小麦施氮量。

氮肥与玉米产量函数关系：

式中，Y_C 表示玉米产量，X_C 表示玉米施氮量。

2.3.1 通常边际成本计算的小麦、玉米最佳氮肥推荐量

根据试验期间供试肥料、小麦和玉米氮磷钾养分价格，利用式（1）和（2），按产投比为2，计算最佳氮肥用量分别为：小麦X_W=213.90kg/hm²、玉米X_C=179.30kg/hm²。

这样分别计算的小麦和玉米的最佳施氮量不一样，试验设计是小麦、玉米轮作都同时采用一种施氮肥量，小麦、玉米最佳施肥量不一样，无法套用试验设计的结果。

根据试验设计要求，计算最佳施肥量一定是小麦、玉米施氮量一样，即有如下关系：

求小麦、玉米整体最佳施氮量，就是构建一个周年产值函数$\left[Y=F\left(X_C,X_W\right)\right]$，包含小麦、玉米的产值，根据小麦、玉米价格和式（1）和（2），小麦、玉米周年产值函数可以表示为：

把小麦价格 P_W、玉米价格 P_C、小麦产量函数 Y_W、玉米产量函数 Y_C 代入式（4）整理得到周年产值与小麦、玉米施肥量方程如下：

根据式（3），方程式（5）中最佳施氮量记作 X=X_W=X_C，产值效应方程（5）可以写作：

按产投比为2，计算出小麦、玉米最佳施氮量为：X=X_W =X_C =207.15kg/hm²。

按产投比为5，计算小麦、玉米最佳施氮量为：X=X_W =X_C =193.54kg/hm²。

2.3.2 实际边际成本计算的小麦、玉米最佳氮肥推荐量

对实际边际成本的计算比较复杂，边际成本包括作物必须的大量元素、中微量元素、水分及消耗土壤环境其它因素，文中仅仅从计算吸收磷、钾肥给出大量元素边际成本计算的方法，假定作物吸收了的磷肥和钾肥用等价肥料补充。

仍然假定小麦、玉米最佳产值为 Y，小麦、玉米最佳氮肥量为 X。那么，由式（6）可以得出边际产出：

小麦、玉米边际成本包括氮肥边际成本、籽粒增产带出磷和钾成本及小麦、玉米边际成本组成 （表3），表3中常数：3.63×10^-3 是小麦籽粒P₂O₅ 含量，4.83×10^-3 是小麦籽粒K₂O含量，3.88×10^-3 是玉米籽粒P₂O₅ 含量，2.79×10^-3 是玉米籽粒K₂O含量，P_P、P_K 分别是磷肥（P₂O₅）、钾肥（K₂O） 单价的2.290、1.205倍（磷、钾养分价格转换为单磷、单钾价格）。

根据表3可知，小麦玉米的合计边际成本就是实际小麦、玉米轮作的边际成本，把表中小麦、玉米价格、肥料价格都代入，联合式（1）和式（2） 得出总边际成本（IN）：

按边际产投比为2计算，小麦、玉米最佳氮肥施用量为196.50kg/hm²。

按边际产投比为5计算，小麦、玉米最佳氮肥施用量为158.55kg/hm²。

比较上述按通常边际成本计算方法计算的最佳氮肥推荐量，实际边际成本计算方法能够降低最佳氮肥推荐用量。

3 讨论

3.1 长期定位试验氮肥效应函数施肥推荐

氮肥的肥料效应函数在20世纪80年代以来就被广泛应用于小麦、玉米、水稻等作物生产中。高肥力土壤与低肥力土壤回归方程差异很大，农业科学工作者一直以来致力于用不同函数形式表达，采用聚类分析法、趋势分析方法拟合施肥推荐^[19-21]，虽然效应方程能以某种形式精确拟合，但是往往计算的结果，在运用中与实际有很大差异。

查阅1982年以来拟合肥料效应方程很少采用长期定位试验资料，往往都是采用前1～3年试验资料^[2，8，13]，计算推荐施肥量与实际不一致，主要原因是没有采用长期定位试验结果。

表4 是长期定位试验土壤养分状况，表明不施氮肥处理全氮和有机质显著比施肥土壤低，施肥量能显著影响土壤肥力。不施或低量施氮处理小麦、玉米产量都比较低（图1），每一个施肥量对应一个相对稳定的产量，一般7年以后产量就相对稳定^[22]，长期定位试验1～7年时间内土壤养分和产量不断变化，7年以后趋于相对稳定^[23]，本文采用7年以后作物产量与施肥量的函数关系，建立一个稳定有实际应用价值的函数。

3.2 氮肥边际投入与小麦、玉米生产实际的边际投入

氮肥边际投入能通过氮肥的产量效应函数求出，这是以往大多数利用效应函数进行施肥推荐的理论基础^[2，11-13]。根据氮肥与产量函数关系，利用数学求极值理论，求出最佳施氮量具有充分的数学理论基础。但是根据作物矿质营养理论，作物生产成本实际上不是仅仅吸收氮素营养，而是吸收所有16种必须营养，因而计算最佳施氮量的边际成本包括氮肥边际成本和吸收其它营养元素的成本。本文通过计算边际条件下，氮肥的边际成本作为小麦、玉米生产中边际成本的一部分，还计算了作物吸收的磷和钾养分边际成本，按照这种边际成本计算方法，计算的最佳氮肥推荐量比通常方法计算的低，从理论上能解决“效应函数计算氮肥推荐量偏高问题^[17] ”，这种方法能够降低最佳效益施氮量10%～20%，与夏永秋等^[24]利用协调农学、环境和经济效益推荐施肥量结果相似 （降低氮肥推荐量10%～20%）。

4 结论

在肥料效应函数应用于氮肥施肥推荐时，边际成本不仅仅包含氮肥的边际成本，还包括由于氮肥对产量增加而多吸收的磷、钾等肥料的成本。只有计算实际生产过程中的边际投入，才能计算出适宜的最佳施氮量。产投比为2，通过计算实际边际成本计算最佳施氮量，可以从原来计算方法最佳施氮量207.15kg/hm²，降低到最佳施氮量196.50kg/hm²；产投比为5，通过计算实际边际成本计算最佳施氮量，可以从原来计算方法最佳施氮量193.54kg/hm²，降低到最佳施氮量158.55kg/hm²。

参考文献